Декартово произведение отношений

Операция декартова произведения выполняется над двумя произвольными отношениями А и В. Результатом операции декартова произведения является отношение С, степень которого равна сумме степеней исходных отношений, а мощность - произведению мощностей исходных отношений. Таким образом, декартово произведение отношений можно представить с помощью декартова произведения множеств:

Пример. Операция "декартово произведение". Выполним операцию декартова произведения отношений СЛУЖАЩИЕ и МЕДОСМОТР.

Исходные отношения: СЛУЖАЩИЕ (#, Фамилия, Пол) МЕДОСМОТР (Процедура, Дата)

СЛУЖАЩИЙМЕДОСМОТР

1	Иванов	М		ЭКГ	17.08
5	Антонова	Ж		Анализ крови	20.08
				Терапевт	23.08

Результирующее отношение:

РЕЗУЛЬТАТЫ_МЕДОСМОТРА ( #, Фамилия, Пол, Процедура, Дата ) =

СЛУЖАЩИЙ Х МЕДОСМОТР

1	Иванов	м	ЭКГ	17.08
1	Иванов	м	Анализ крови	20.08
1	Иванов	м	Терапевт	23.08
5	Антонова	ж	ЭКГ	17.08
5	Антонова	ж	Анализ крови	20.08
5	Антонова	ж	Терапевт	23.08

Деление отношений

Операция деления выполняется над двумя отношениями А и В, где А - отношение-делимое, а B - отношение-делитель. При этом атрибуты B должны являться подмножеством атрибутов A. Результатом выполнения операции деления является отношение С, которое включает в себя атрибуты отношения А, отличные от атрибутов отношения В, и только те кортежи, декартовы произведения которых с отношением В дают отношение А:

Представление частного отношений через другие алгебраические операции может быть получено следующим образом. Предположим, что

. Пусть n и m - арности отношений Qa и Qb, n > m. Тогда разность исходных отношений есть множество кортежей t степени n - m, таких, что для всех кортежей s степени m из Qb, кортеж ts принадлежит Qa. Пусть . Тогда есть множество кортежей степени n, не принадлежащих Qa. Каждый из них формируется из n - m первых компонентов кортежа из Qa, за которым следуют компоненты кортежа Qb. Пусть далее есть множество кортежей t степени n - m, состоящих из первых n - m компонентов Qa, причем для каждого из них в Qb существует некоторый кортеж s степени m, такой, что ts не принадлежит Qa. Таким образом, разность отношений T - V есть, по определению, частное отношений .

Пример. Деление отношений. Выполним операцию деления отношения РЕЗУЛЬТАТЫ_МЕДОСМОТРА на отношение МЕДОСМОТР.

Исходные отношения:

РЕЗУЛЬТАТЫ_МЕДОСМОТРА (#, Фамилия, Пол, Процедура, Дата)

МЕДОСМОТР (Процедура, Дата )

1	Иванов	М	ЭКГ	17.08
1	Иванов	М	Анализ крови	20.08
1	Иванов	М	Терапевт	23.08
5	Антонова	Ж	ЭКГ	17.08
5	Антонова	Ж	Анализ крови	20.08
5	Антонова	Ж	Терапевт	23.08

Результирующее отношение:

ЭКГ	17.08
Анализ крови	20.08
Терапевт	23.08

СЛУЖАЩИЙ (#, Фамилия, Пол) = РЕЗУЛЬТАТЫ_МЕДОСМОТРА / МЕДОСМОТР

1	Иванов	М
5	Антонова	Ж

Формы представления отношений

Как мы уже упоминали выше, отношения можно представлять в виде таблиц. Но в табличном представлении сложно показывать некоторые свойства отношений. Например, неоднозначность трактовки домена колонки. Поэтому предпринимаются попытки строить более четкие схемы описания отношений в реляционных базах данных. Ниже представлен фрагмент такого описания в виде примера схемы базы данных "КАДРЫ":

СХЕМА "ОТДЕЛ_КАДРОВ"

ДОМЕН Т_Табельный_номер ТИП целое ДОМЕН Т_ФИО ТИП символьное ДОМЕН Т_Зарплата ТИП десятичное с фиксированной точкой ..... ОТНОШЕНИЕ Служащий ( Табельный-номер / КЛЮЧ / ДОМЕН = Т_Табельный-номер, ФИО / ДОМЕН = Т_ФИО, .... ) .... КОНЕЦ ОПИСАНИЯ СХЕМЫ.

Подобное описание не прижилось среди проектировщиков баз данных. На практике прибегают к такому описанию крайне редко.

Для дальнейшего изложения нам понадобится одно из самых важных понятий обработки данных - понятие ключа.

Ключом или ключевым полем называется уникальное значение, которое позволяет тем или иным способом идентифицировать сущность или часть сущности предметной области, т.е. ключ - это значение некоторого атрибута или атрибутов в кортеже отношения, который представляет экземпляр сущности в реляционной модели данных.

Внимание! На данном этапе изложения мы не проводим особого различия между понятиями "ключ отношения" и "ключ сущности" предметной области, хотя далее мы будем эти ключи различать.

Заметим, что в определении ключа не требуется однозначной идентификации сущности предметной области базы данных. Ключ отношения - это не уникальный идентификатор сущности предметной области. Однако последний есть возможный кандидат на ключ отношения, иначе говорят, возможный ключ.

Принято различать первичные ключи и частичные ключи. Математически первичным ключом отношения R со схемой r является подмножество сужения декартового произведения, которое позволяет однозначно идентифицировать кортеж. Если первичный ключ содержит несколько атрибутов, то он называется составным ключом, в противном случае - атомарным.
Частичным ключом называется атрибут составного ключа, если он однозначно определяет совокупность неключевых атрибутов отношения. Атрибут кортежа, который является первичным ключом другого отношения, называется внешним (иногда посторонним) ключом.

Из определения отношения следует следующее важное свойство реляционной модели данных: каждое отношение должно иметь первичный ключ. Отсутствие первичного ключа в отношении может привести к приобретению кортежей, которые не определены текущим состоянием предметной области, или к потере уже существующих кортежей при выполнении теоретико-множественных операций. Причина подобных казусов лежит в механизме построения декартова произведения.

Заметим, что ключ в контексте модели предметной области базы данных всегда отражает ту или иную степень связи между атрибутами сущностей предметной области, т.е. семантически ключ есть средство моделирования связей в модели.

Пример: рассмотрим предложение "Гражданин Иванов проживал в городе Москве 10 лет". Возможными атрибутами в отношении Место_жительства являются фамилия гражданина, название города проживания и время проживания. Фамилия гражданина может выступать в качестве первичного ключа этого отношения, так как личность однозначно определяет время ее проживания в конкретном городе. Таким образом, в этом отношении моделируется связь "проживал" между атрибутами "фамилия" и "город".

Отношения в реляционной модели данных, как правило, представляются с помощью функциональной формы записи (так как мы записывает функции нескольких переменных в математическом анализе), при этом атрибуты первичного ключа подчеркиваются:

ИМЯ_ОТНОШЕНИЯ (Атрибуты первичного ключа, неключевые атрибуты).

Пример. Представление связи отношением. Представим связь между личностью и местом ее проживания через отношение ПРОЖИВАЕТ (Кл. личность, Кл. населенный_пункт, время)

Описание личности:

ЛИЧНОСТЬ (Кл. личность, ФИО, возраст, пол)

Описание населенного пункта:

НАСЕЛЕННЫЙ_ПУНКТ (Кл.населенный_пункт, география, население)



Однако наибольшее распространение получило представление отношений в виде графических диаграмм, например ER-диаграмм, о которых мы говорили в первой лекции. Преимуществами такого представления являются наглядность диаграмм и возможность их построения в ряде CASE-средств проектирования баз данных. Обычно CASE-средства позволяют поддерживать несколько уровней представления отношений. Так, например, ErWin поддерживает уровень логической и физической моделей базы данных.

Отметим, что представление фрагментов реального мира через отношения даже в рамках одной модели данных не характеризуется единственностью. Например, зададимся вопросом: "Что есть цвет автомобиля? Связь, объект или атрибут?" Если за объект принять автомобиль, то цвет может выступать в качестве атрибута автомобиля. Если рассматривать зависимость отражательной способности покрытия автомобиля от его цвета, то цвет можно считать объектом. Если рассматривать взаимосвязь между цветом модели автомобиля и ее номером, то цвет можно считать связью.

В любом случае при представлении какого-либо качества реального мира в модели следует четко понимать, какие запросы в рамках создаваемой модели данных должны быть разрешимыми. Рассмотрим отношение КРАСНЫЙ (модель). При использовании такого отношения на вопрос: "Является ли модель X красного цвета?" может быть получен ответ: "Да" или "Нет". Вопрос: "Какой цвет у модели Х?" ответа не имеет, так как в отношении отсутствует атрибут "цвет".

В итоге сформулируем основные свойства реляционной модели данных, которые следуют из понятия отношения как множества.

Все кортежи одного отношения должны иметь одно и то же количество атрибутов.Значение каждого из атрибутов должно принадлежать некоторому определенному домену.Каждое отношение должно иметь первичный ключ.Никакие два кортежа не могут иметь полностью совпадающих наборов значений.Каждое значение атрибутов должно быть атомарными, т.е. не должно иметь внутренней структуры и содержать в качестве компонента другое отношение.Реляционная модель данных должна быть непротиворечивой, в частности должен выполняться 1) принцип ссылочной целостности - связи между отношениями должны быть замкнутыми, 2) значения колонок должны принадлежать одному и тому же определенному для них домену.Порядок следования кортежей в отношении не имеет значения.Порядок есть в большей степени свойство хранения данных, чем свойство непосредственно самой реляционной модели данных.

Объединение отношений

Пусть Qa, Qb, Qc - множество кортежей отношений А, B, С соответственно. Операция объединения выполняется над двумя совместными отношениями A и B. Результатом операции объединения является отношение C, которое включает в себя все кортежи отношения А и кортежи отношения B, отличные от кортежей отношения A. Таким образом, объединение отношений можно представить с помощью теоретико-множественной операции объединения:

Пример. Объединение отношений. Выполним операцию объединения отношений КЛИЕНТ_1 и КЛИЕНТ_2.

Исходные отношения:

КЛИЕНТ_1 (#, Фамилия, Возраст) и КЛИЕНТ_2 (#, Фамилия, Возраст)

КЛИЕНТ_1КЛИЕНТ_2

1	Иванов	20		1	Иванов	20
3	Петров	23		2	Исаев	30
4	Фролов	49

Результирующее отношение:

КЛИЕНТ (#, Фамилия, Возраст) = КЛИЕНТ_1 " КЛИЕНТ_2

1	Иванов	20
3	Петров	23
4	Фролов	49
2	Исаев	30

Пересечение отношений

Операция пересечения выполняется над двумя совместными отношениями А и В. Результатом операции пересечения является отношение С, которое включает в себя кортежи отношения А, полностью совпадающие с кортежами отношения В. Таким образом, пересечение отношений можно представить с помощью теоретико-множественной операции пересечения:

Пример. Пересечение отношений. Выполним операцию пересечения отношений КЛИЕНТ_1 и КЛИЕНТ_2.

Исходные отношения:

КЛИЕНТ_1 (#, Фамилия, Возраст) и КЛИЕНТ_2 (#, Фамилия, Возраст)

КЛИЕНТ_1КЛИЕНТ_2

1	Иванов	20		1	Иванов	20
3	Петров	23		2	Исаев	30
4	Фролов	49

Результирующее отношение:

КЛИЕНТ (#, Фамилия, Возраст) = КЛИЕНТ_1 " КЛИЕНТ_2

1

Иванов

20

Понятие отношения

Реляционная модель данных была предложена Е.Ф. Коддом в 1970 году и получила к настоящему времени широкое распространение и популярность. Этому способствовали два ее существенных достоинства: 1) однородность представления данных в модели, которая обусловливает простоту восприятия ее конструкций пользователями базы данных, и 2) наличие развитой математической теории реляционных баз данных, которая обусловливает корректность ее применения.

В основе реляционной модели данных лежит понятие отношения, которое задается списком своих элементов и перечислением их значений. Рассмотрим пример на рис. 4.1. На нем представлено расписание движения автобусов по маршруту "Москва - Черноголовка - Москва". Налицо определенная структура. Каждый включенный в расписание рейс имеет свой номер, время отправления и время в пути. Расписание может быть представлено таблицей. Заголовки колонок таблицы носят название атрибутов. Список их имен носит названия схемы отношения. Каждый атрибут определяет тип представляемых им данных, который вместе с областью его значений называется доменом. Вся таблица целиком называется отношением, а каждая строка таблицы носит название кортежа отношения. Таким образом, отношение можно представить в виде двумерной таблицы.

Рис. 4.1.  Расписание движения автобусов по маршруту "Москва - Черноголовка - Москва" как отношение

Подходы к определению понятия отношения могут быть различными. Математически отношение может быть определено как множество кортежей, являющейся подмножеством декартова произведения фиксированного числа областей (доменов). В результате получаем, что в каждом кортеже должно быть одинаковое число компонент (атрибутов) и значение каждого из них выбирается из некоторого определенного домена.

Введем ряд математических определений, связанных с понятием отношения.

Определение 1. Декартово произведение Пусть D1, D2, ..., Dn - произвольные конечные множества, не обязательно различные. Декартовым произведением этих множеств

называется множество вида .
Пример:

Определение 2. Схема отношения

Пусть - имена атрибутов. Схемой r отношения R называется конечное множество имен атрибутов .

Определение 3. Отношение

Отношением со схемой r на конeчных множествах D1, D2,…, Dn называется подмножество R декартового произведения .

Элементы отношения (d1, d2, ..., dn), как уже упоминалось выше, называются кортежами. О каждом отношении, являющимся подмножеством декартового произведения , можно сказать, что оно имеет арность n. Кортеж (d1, d2, ..., dn) имеет n компонентов. Для обозначения кортежа применяется и сокращенная форма записи d1, d2, ..., dn. Использование понятия декартового произведения для определения отношения в реляционной модели данных делает модель конструктивной. На математическом языке это означает, что все остальные понятия модели определяются в рамках строго математического построения на базе декартового произведения.

Табличная форма представления отношения была введена в целях популяризации модели среди неподготовленных пользователей баз данных. Трактовка реляционной теории на уровне таблиц скрывает ряд определений, важных для понимания как теории реляционных баз данных, так и языка манипулирования данными, моментов.

Во-первых, атрибуты разных отношений могут быть определены на одном домене, так же как и атрибуты одного отношения. Это очень важное обстоятельство, позволяющее устанавливать связи по значению между отношениями. Во-вторых, множество математически по своему определению не может иметь совпадающих элементов, и, следовательно, кортежи в отношении можно различить лишь по значению их компонент. Это тоже очень важное для модели обстоятельство: никакие два кортежа не могут иметь полностью совпадающих компонент. Таким образом, в реляционной модели полностью исключается дублирование данных о сущностях реального мира! В-третьих, заметим, что схема отношения также есть множество, что позволяет работать с ними с помощью теоретико-множественных операций. Это является важным моментом для построения теории проектирования реляционных схем баз данных.



Существует определенное различие между математическим определением отношения и действительным хранением отношений в памяти компьютера. По определению, отношение не может иметь два идентичных кортежа. Однако СУБД, поддерживающие реляционную модель данных, хранят отношения в файлах операционной системы компьютера. Размещение отношений в файлах операционной системы допускает хранение идентичных кортежей. Если не используется специальная техника (контроль целостности по первичному ключу), то обычно большинство промышленных СУБД допускают хранение двух идентичных кортежей в базе данных.

С математической точки зрения однородность реляционной модели, о которой упоминалось выше, состоит в том, что схема отношения является постоянной, иначе говоря, каждая строка таблицы имеет один и тот же формат. С другой стороны, предполагается, что каждая строка таблицы представляет некую сущность реального мира или связь между ними. Обладают ли сущности реального мира такой однородной структурой, является вопросом, на который должен ответить аналитик или эксперт-пользователь. Решение о пригодности использования реляционной модели для моделирования данных конкретной предметной области решается руководителем ИТ-проекта и аналитиками.

Проекция отношения

Операция проекции выполняется над одним отношением А. Результатом выполнения операции проекции над отношением А является отношение С, которое включает в себя все кортежи отношения А, но только с теми атрибутами, на которые выполняется проекция. Операцию проекции отношения можно представить следующим образом:

Для обозначения проекции в теории реляционных баз данных принято использовать греческую букву

, а для обозначения атрибутов, которые участвуют в операции проекции, принято использовать их номера или имена как подстрочные индексы . Предполагается, что существует взаимно однозначное соответствие между номерами атрибутов и их именами для данной схемы отношения. Для обозначения атрибутов, которые участвуют в проекции, в формуле выше использованы индексы i1, i2, …, iN, где N - число атрибутов проекции.

Таким образом, операция проекции заключается в удалении некоторых атрибутов в исходном отношении Qa и упорядочивании оставшихся атрибутов.

Пример. Проекция отношения. Выполним операцию проекции отношения СОТРУДНИК на атрибуты ОТДЕЛ и ДОЛЖНОСТЬ.

Исходное отношение: СОТРУДНИК (#, Фамилия, Отдел, Должность)

1	Иванов	12	Инженер
2	Исаев	11	Гл.специалист
3	Петров	11	Инженер
4	Фролов	11	Инженер
5	Антонова	12	Конструктор

Результирующее отношение:

ДОЛЖНОСТЬ (Отдел, Должность) = p (Отдел, Должность)

12Инженер11Гл.специалист11Инженер12Конструктор

Разность отношений

Операция разности выполняется над двумя совместными отношениями А и В. Результатом операции разности является отношение С, которое включает в себя кортежи отношения А, отличные от кортежей отношения В. Таким образом, разность отношений можно представить с помощью теоретико-множественной операции разности:

Отметим для дальнейшего, что пересечение отношений можно представить через разность отношений как Qa - (Qa - Qb).

Пример. Разность отношений. Выполним операцию разности отношений КЛИЕНТ_1 и КЛИЕНТ_2.

Исходные отношения:

КЛИЕНТ_1 (#, Фамилия, Возраст) и КЛИЕНТ_2 (#, Фамилия, Возраст)

КЛИЕНТ_1КЛИЕНТ_2

1	Иванов	20		1	Иванов	20
3	Петров	23		2	Исаев	30
4	Фролов	49

Результирующее отношение:

КЛИЕНТ (#, Фамилия, Возраст) = КЛИЕНТ_1 - КЛИЕНТ_2

3	Петров	23
4	Фролов	49

Реляционные операции

Классическая реляционная модель данных предусматривает использование восьми реляционных операций манипулирования данными: объединение, пересечение, разность, декартово произведение, деление, проекция, соединение и выбор. К операциям модели можно также отнести и операцию переименования кортежей в отношении.

Рассмотрим каждую из операций. Отметим, что операции выполняются над отношением в целом, а не над отдельным кортежем отношения. Введем несколько вспомогательных определений.

Определение 4. Степень отношения есть число входящих в него атрибутов или мощность схемы отношения (как множества).

Определение 5. Мощность отношения есть число входящих кортежей или кардинальное число отношения (как множества).

Определение 6. Два отношения называются совместными, если они имеют совместные схемы (совпадают схемы отношений и домены соответствующих атрибутов).

Соединение отношений

Операция q-соединения выполняется над двумя отношениями А и В. Результатом выполнения операции

-соединения является отношение С, которое включает в себя все кортежи со всеми атрибутами исходных отношений А и В, удовлетворяющими заданному условию. В каждом отношении выделяется атрибут, по которому выполняется соединение.

Операция соединения отношений может быть представлена следующим образом:

где n - степень отношения Q_a;

- арифметический оператор сравнения; i, j - номера атрибутов в Q_a и Q_b соответственно, по которым выполняется соединение.

Рассмотрим частные случаи

-соединения.

Если

есть арифметический оператор равенства, то такое соединение называется эквисоединением. При этом имена атрибутов исходных отношений могут не совпадать.

Различают еще естественное соединение, когда оба отношения имеют набор одинаковых по именам и типам атрибутов. Соединение выполняется по всему набору совпадающих атрибутов. Пусть R1 (A1, A2,..., An, B1, ...) и R2 (A1, A2, ..., An, C1, ...) - исходные отношения, тогда естественное соединение может быть вычислено следующим образом для одного атрибута:

вычислим

;для каждого атрибута А, который именует некоторую колонку в R1 и какую-либо колонку в R2, выберем те кортежи из , у которых совпадают значения в колонках R1.А и R2.А, где R1.А - имя колонки в , соответствующее колонке А из R1. Аналогично для R2.А.;для каждого указанного выше атрибута А удалим из кортежа R2.А. Формально, если A1, A2, ..., An являются именами атрибутов, используемых и в R1, и в R2, то естественное соединение Qc = R1 >< R2 есть

Пример. Соединение отношений. Выполним операцию естественного соединения отношений ЭКЗАМЕН_ВЕДОМОСТЬ и ГРУППА по атрибуту "Группа".

Исходные отношения:

ЭКЗАМЕН_ВЕДОМОСТЬ (Студент, Дисциплина, Оценка, Группа)

Иванов	Математика	5	12
Петров	Математика	3	10
Исаев	Математика	4	1
Антонова	Математика	3	12

ГРУППА (Курс, Группа, Наименование)

5	10	АСУ
5	11	Прикладная математика

Результирующее отношение:

РЕЗУЛЬТАТ (Студент, Дисциплина, Оценка, Группа, Курс, Наименование)

Петров	Математика	3	10	5	АСУ
Исаев	Математика	4	11	5	Прикладная математика

Таким образом, в этом разделе мы ввели понятие отношения как подмножества декартового произведения доменов, определили ряд алгебраических операций на отношениях. Зачем это нужно? Эти понятия являются фундаментальными в реляционной теории баз данных. Данные в реляционной модели представляются в виде набора множеств и сохраняются в реляционных базах данных как множества строк таблиц. Запросы к этим данным в СУБД формулируются в терминах операций над множествами. Реляционные операции, применяемые в реляционной модели данных, выполняются на множествах кортежей, результатами их выполнения также являются множества кортежей. Проектировщик реляционной базы данных должен помнить, что он имеет дело с множествами, представленными в виде таблиц в базе данных.

Литература: [1], [2], [3], [4], [5], [6], [11], [14], [15], [16], [20], [37], [39], [42], [43], [44], [45], [47].

Выбор из отношения

Операция выбора (селекции) выполняется над одним отношением А. Результатом выполнения операции выбора является отношение С, которое включает в себя кортежи отношения А, удовлетворяющие заданному условию (критерию выбора). Операция выбора из отношения может быть представлена следующим образом:

где s обозначает операцию выбора, F - критерий выбора на множестве атрибутов в форме логического выражения, образованного с помощью определенных операндов (константы, имена атрибутов, арифметические операции сравнения, логические операции).

Пример. Селекция отношения. Произведем выбор из отношения СЛУЖАЩИЕ по критерию "Возраст >= 30".

Исходное отношение:

СЛУЖАЩИЕ (#, Фамилия, Возраст)

1	Иванов	20
2	Исаев	30
3	Петров	23
4	Фролов	49
5	Антонова	25

Критерий выбора: Возраст >= 30

Результирующее отношение:

СЛУЖАЩИЕ (#, Фамилия, Возраст)

2	Исаев	30
4	Фролов	49

---

---